今回は中学２年生に向けて、式と計算から文字の活用から学びをお伝えしていきます。
今回はあと20点シリーズの第3回目です。第４回までを予定していています。
この分野で文章題に慣れておくと、数学検定を受ける際にも抵抗感を軽減できます。
本日もよろしくお願いします。
全体像
今回のシリーズは以下の順番で勉強を進めていきます。
- 等式の変形
- 偶数をn、奇数をn＋1で表す問題
- ２桁の自然数を使った問題
- １年生で学んだ体積の計算を文字にした問題
- その他
前回は等式の変形を紹介したので、今回は3番に触れていきます。
まずはクイズです。正解と考え方がわかれば今日は合格です。
2桁の自然数で、10の位の数字をx,1の位の数字をyとするとき、この自然数を表す式として正しいものはどれですか
$xy$
$x＋y$
$10x＋y$
答えを確認する
$10x＋y$
２桁の自然数とその数の１の位と10の位を入れ替えた自然数の和はなんの倍数になりますか。
$９$
$11$
$3$
答えを確認する
$11$の倍数
２桁の自然数とその数の１の位と10の位を入れ替えた自然数の差はなんの倍数になりますか。
$９$
$11$
$3$
答えを確認する
$9$の倍数
用語の復習
クイズのあと、まずは用語の確認と復習をしていきましょう。
勉強をするにあたっては、用語を知っているかどうかで理解度がだいぶ変わってきます。
ということで、今回はこれらですね。
- ２桁
- 自然数
- 和
- 差
- 代入
- 同類項
- くくる
- 係数
既にわかる方は読み飛ばしてくださいね。
1.まず2桁ですね。学校の教科書ではケタとカタカナ表記されてることが多い気がしてます。
10とか20とか、10の位まである数のことで、100は3ケタになりますね。
2.自然数ですね。こちらは正の整数と教科書では書かれていることが多いです。
整数は分数や小数以外の数でしたので、プラスの分数や小数以外の数と思っていれば問題ありません。
3.和は足し算のことです。
4.差は引き算のことです。
5.代入は文字を当てはめるイメージです。x=1を次の式に代入してね。と言われて、用意された式がx＋2だとしたら、答えは3になります。
6.同類項は同じ文字の組み合わせを持った数のことです。例えば2xと3yはそれ以上足すことができないので、同類項ではありません。
2xと3ｘは足し算すると5ｘになるように、同じ文字であれば足し算ができる。こうやって足し算引き算が可能な同じ文字の数同士を同類項といいます。
x2＋xこれは同じ文字ですが、これ以上足し算してまとめることはできませんので、同類項とは言えません。
7.くくる
くくるは中２でおそらく始めて出る数学用語です。例えば11xと11yはどちらも11の倍数です。それらを足し算した数は11x＋11yと表すことができて、これをくくると11(x＋y)となります。
これがくくるのイメージとやり方ですね。
また、分配法則の逆作業と覚えてもいいです。
11(x＋y)を分配法則で計算すると11x＋11yに戻ります。
そんなところです。
8.係数は文字の前についた数のことです。正しく言えば、文字と掛け合わされた数字のことになるかと思うのですが、67xだと係数は67です。
２桁の整数
２ケタの整数を文字で表してみましょうか。
使う文字はなんでもいいですが、問題文ではaとbやxとyがセットで扱われることが多いです。
今回は10の位の”数字”をx、1の位の”数字”をyとしたときを考えていきます。
クイズの不正解から解説をしていこうと思うのですが、x＋yはおしい答えですね。
上段で太字にしてみたのですが、10の位の数字とは、xは10の位の数字しか表しませんよ。
ということになります。
ですから、12という数字があればxは1を
56という数字があればxは5、yが6を表していることになります。
もしx＋yが正解です！それが答えです！となってしまうと56という数字を表したいとき
x=5、y=６なので、x＋y=11となってしまいます。
これは困ってしまうので、10x＋yとして数字を入れていくと
10ｘ＋y=50＋6=56という具合になります。
元の数と入れ替えた数の和
クイズの2問目の解説ですね。答えは11倍で、11,22,33,…11nと11の倍数になります。
はい。暗記してね〜とはならないので安心してください。
先程2ケタの数を文字で表すことができるようになった皆さんは、次のステップに進んでもらいます。
10の位の数をa、1の位の数をbとしたとき、2ケタの自然数を10a＋bとします。
10a＋bを元の数として、それらを入れ替えた数を考えます。
結論を言ってしまうと、10b＋aとなります。
皆さんに違和感はありますか？？
なんでもいいです。例えば72という数字があって、10のくらいの数が7、1の位の数が2とします。それらを入れ替えた数は27としたいので
b＋aだ！とすると足して9になってしまいますので10a＋bを入れ替えて10b＋aとします。
自分の好きな数字でも入れ替えて代入してみると、記憶に残りやすいのでやってみてください。
話は本題に戻って、今回は元の数と入れ替えた数の和が11の倍数になるらしいということでした。
“らしい”という言葉はいやですね。まだうわさの段階です。
同類項やくくると言った言葉の意味がわからない方は、用語の復讐をしたうえで次の画像を見てみましょうか。
そんな形で和は11の倍数になります。以下にポイントをまとめましたので、復習で使ってください。
- ２ケタの数を文字で表すことができる。
- 入れ替えた数を文字で表すことができる
- 同類項をまとめることができる
- くくることができる
元の数と入れ替えた数の差
次に差を求めていきたいと思います。
流れとしては以下のとおりです。
- ２ケタの数を文字で表す
- 10の位の数と1の位の数を入れ替える
- 元の数と入れ替えた数の差をもとめる
- 同類項をまとめる
- 共通の係数でくくる
計算は以下のようになります。
まとめ
今回は2桁の数字を文字で表しました。10c＋d
次にその文字を入れ替えました。10d＋c
その後足し算と引き算をそれぞれやって、結果足し算が11の倍数で引き算の結果が9の倍数ということがわかりました。
これらの問題を攻略するには、5つのポイントがありました。
- ２ケタの数を文字で表す
- 10の位の数と1の位の数を入れ替える
- 元の数と入れ替えた数の差をもとめる
- 同類項をまとめる
- 共通の係数でくくる
これらの問題は穴埋めで出ることも多いです。もちろん穴埋めでないバージョンもありますので
まずはお手元の問題集で、どのように出題されているか確認してみてください。
それでは、ありがとうございます。
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